Die Lorenz-Kurve oder auch Disparitätskurve wird häufig mit dem Pareto-Prinzip entweder verwechselt oder aber gleichgesetzt. Das ist falsch: Das Pareto-Prinzip besagt, dass es Situationen gibt, in denen viele kleine Werte weniger Anteil am Gesamten haben als wenig große Werte (Pareto sagt nichts über 80/20 aus, das ist reiner Zufall und basierend auf einer Untersuchung). Die graphische Darstellung einer Verteilung, die dem Pareto-Prinzip folgt ist meistens ein Liniendiagramm, das steil ansteigt und flach ausläuft.
Die Lorenz-Kurve visualisiert den Sachverhalt einer Ungleichverteilung (deshalb auch: Disparitäts-Kurve) und bringt ihn in eine Form, die auf den ersten Blick veranschaulicht, wie stark die Ungleichheit ist. Zusätzlich kann man aus der Lorenz-Kurve (bzw. aus deren Berechnung) den so genannten Gini-Koeffizienten errechnen, der dann in einer Zahl die Stärke der Ungleichheit ausdrückt.
Die Lorenzkurve sagt aus, welcher Anteil der sortierten Grundgesamtheit welchen Anteil an der Merkmalssumme besitzt.
Lorenz, nicht der mit den Gänsen
Max Otto Lorenz, ein US-Amerikanischer Statistiker lebte zwischen 1876 und 1959) und publizierte 1905 einen Aufsatz zur Einkommensverteilung. In diesem Aufsatz tauchte zum ersten Mal die Lorenz-Kurve öffentlich auf. Lorenz ist bis heute eigentlich vor allem für diesen einen Aufsatz und diese eine Kurve bekannt – nicht verwunderlich, denn Lorenz war kein Hochschuldozent. Er war vielmehr „reiner“ Statistiker, unter anderem Direktor der statistischen Abteilung der Interstate Commerce Commission. Er war vor allem mit der Erhebung und Analyse von Daten zum öffentlichen Transport befasst. Seine Daten wurden zur Tarifgestaltung verwendet und zur allgemeinen Betriebsverbesserung. 1920! Nur zur Erinnerung… nicht alle Begriffe, die wir heute verwenden stammen aus unserer Zeit.
Die Kurve
Die Lorenzkurve spielt sich ausschließlich im 1. Quadranten ab (Beginn bei 0|0; Ende bei 1|1), die Kurve selbst ist konvex und monoton steigend (bedeutet: die Kurve steigt IMMER, sie kann NIEMALS sinken), auf der x-Achse werden die Anteile eingetragen, auf der y-Achse die Merkmalssummen. Die Merkmalsausprägungen müssen erst mal sortiert werden (wie beim Median), diese Merkmale werden dann aufsummiert und in %-Anteile umgerechnet. Daraus ergibt sich dann eine Linie.
Die Lorenzkurve ist also zuallererst eine graphische Darstellung, eine Visualisierung, einer Sachlage.
Einfaches Beispiel
Weil normalerweise Lorenzkurven immer zur Visualisierung von angeblich ungerechten Einkommensverteilungen herangezogen werden (dafür wurde sie ja ursprünglich auch erfunden) nehmen wir natürlich ein anderes Beispiel – soll ja aufzeigen, wie die Kurve auch außerhalb der normalen Anwendungsbereiches funktioniert.
Wir fragen uns also (wenige Daten, der Übersichtlichkeit halber) und marketing-bezogener: Welchen Anteil haben welche Firmen am Gesamtumsatz einer Branche. Der Einfachheit halber rechnen wir mit 5 Firmen.
- Schritt: Daten sammeln
Umsatz pro Jahr: Firma A = 1,5 Mio CHF
http://publications.rwth-aachen.de/record/712303/files/712303.pdf
Überlegen ob sinnvoll: Besser Unternehmen am Branchenumsatz
Wir sehen jetzt eine Kurve, die nicht einfach nur diagonal von unten links nach oben rechts verläuft, sondern die einen Bauch hat. Wir würden spontan eher sagen, die Kurve „hängt“ (wäre also konkav), das ist aber nicht richtig, wenn auch nicht besonders wichtig. Die Kurve ist deshalb kovex (also = Bauch), weil es sich auf der y-Achse um den Referenzwert handelt, den Anteil an der Gesamtsumme. Wir müssen also quasi „von oben“ auf die Kurve sehen – wie gesagt, ist eigentlich rein akademisch.
Jetzt sehen wir zwar, dass die Kurve nicht grade verläuft. Wir wissen aber nicht, wie sehr! Wenn wir das ausrechnen wollen, dann nutzen wir dazu den Gini-Koeffizienten.
Da es bei dieser Seite ja immer ums Verstehen geht: Wäre es nicht möglich, eine Lorenzkurve auch für die Geschäftsbereiche eines Unternehmens anzuwenden? Zum Beispiel ein Getränkehandel: Bier, Wasser, Süssgetränke, Wein, Spirituosen?
Überlegen!
